Интеграл дифференциального уравнения

АНО ВПО "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ЕКАТЕРИНЫ великой"

Контрольное задание

По дисциплине: "Математика"

Москва 2010

Проверки деятельности:

Упражнения

1. Дана последовательность а_n=(3n-5)/(4n 1). Установите число n₀, что выполняется неравенство │а_п-│ < 1/500.

Отв. n₀=719.

для того, чтобы Найти:

2. лим (3-√x)/(x²-81).Отв. -1/108.

х→9

3. lim (5х²-8)/(x³-3x² 11).Отв. 0.

x→∞

Проверить непрерывность следующих функций:

4. у=5х/(х -³ 8).Отв. При всех х≠-2 функция непрерывна.

5. у=(x² 4)/ √(x²-36). Отв. Функция является непрерывной при всех значениях

│x│>6.

6. Чтобы определить точки разрыва функции y=(8х 2)/(16x²-1).

Отв. Точка x₁=-1/4 и x₂=1/4.

Задача 1

Найти интеграл дифференциального уравнения:

Решение

будет осуществляться разделение переменных, для этого разделим обе части уравнения на :

Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:

Ответ

Задача 2

Проинтегрировать дифференциальное уравнение однородным:

Решение

Решение однородных дифференциальных уравнений осуществляется с помощью системы:

,

с учетом этого, исходное уравнение примет вид:

будет осуществляться разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения , получаем,

Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:

Возвращаясь к переменной y, получим общий интеграл исходного уравнения:

Ответ

Задача 3

Найти интеграл дифференциального уравнения:

Решение

Показать, что это уравнение является однородным, т. е. может быть представлена в виде . Для преобразования правой части уравнения:

Следовательно, это уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,

имея это в виду, уравнение примет вид: