решение заданий с 79 до 125 (нечетные задания), .т.е. 79, 81, 83, 85, 89, 101, 103, 105, 107, 111 , 113, 115, 117 , 119, 121 , 123, 125 , прошу скорого решения и если же можно то с разъеснением

Сходящиеся последовательности

Последовательности, в которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не является сходящейся, называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn -а} является бесконечно малой. В то же время, число a называется предел последовательности {xn}.

В соответствии с этим определением любая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет предел нулевой номер.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что для n³ N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|

Число a называется предел последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а a n, xn=b b п, где a п b n элементы бесконечно малых последовательностей {a п} и {b n}.

Вычитая данные отчета, находим a п-b n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a п-b n} имеют такое же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a n} равны с тем же номером, то с=0) b-a=0, т. е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Мы представляем следующим образом:

xn=и a п,

в случае, если a n - элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), тогда существует такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a п|£ А. Так, что | xn| £ |a| a для всех номеров n, что означает ограничение последовательности {xn}. Теорема доказана.

Ограниченная процедура не может быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, ... - ограничена , но не является сходящейся. На самом деле, если бы эта последовательность сходилась на некоторое количество и, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn 1-a} является бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn 1-a)}={xn– xn 1} была бы бесконечно малой, что невозможно, потому что |xn– xn 1| = 2 для любого числа n.