Косвенный метод наименьших квадратов 1) Необходим файл WORD, в котором будет представлена теория и уникальный пример со скриншотами решения из EXCEL 2) EXCEL файл с самим примером

Метод наименьших квадратов в случае интегрированной и дискретной нормы Гаусса

Метод наименьших квадратов в случае интегрированной и дискретной нормы Гаусса

1. Постановка задачи

При решении многих задач физики и других прикладных наук, возникает необходимость вместо функции , рассматривать функции, которые представляют функции, как "хорошо".

Например: может быть, в частности, и непрерывной функцией на , а соответствующая - алгебраическим или тригонометрическим многочленом, который является "достаточно хорошо" приближает функцию .

Например: любую функцию из можно представить приблизительную соответствующим многочленом степени с помощью формулы Тейлора:

(1)

то есть

; (2)

в том случае , если - многочлен степени , приближающий функция - остаточный член. Ясно, что

(3)

то есть - характеризует абсолютную погрешность приближения функции многочленом в точку .

Известно также, что можно приблизить с помощью тригонометрического многочлена – отрезка ряда Фурье.

В утверждение, что функция хорошо приближает функцию на компакте , может быть прикреплены в различных направлениях. Например:

а) может потребовать, чтобы приближающая функция совпадала с точки периода , то есть выполнены все условия для .

Если - многочлен степени , который рассматривает процесс приближения называется параболическим интерполированием или процессом построения интерполяционного многочлена (частным примером является многочлен Лагранжа, т. е. );

б) функцию можно выбрать так, чтобы норма - отклонения невязки – достиг минимального значения, а норматив может быть определен по-разному, и разным нормам соответствуют различные степени приближения.

функциональном пространстве Гильберта , норме невязки имеет вид (интегральная норма Гаусса):

(4)

часто, в качестве нормы рассматривают Чебышевскую норму (Т – первая буква фамилии Чебышева на немецком языке):

(5)

При использовании правила (5) говорят о равномерном приближении функции , функции .

Многие теории Т-приближения была развита в работах немецкого математика Л. Коллатца.

На практике, для оценки характера приближения, часто применяют метод наименьших квадратов, при котором невязка вычисляется по дискретной норме Гаусса:

(6)